Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelisimi

Diferansiyel denklemler konusunda yapilan ilk çalismalar, 17. yüzyilin ikinci yarisinda, diferansiyel ve integral hesabin kesfinden (ortaya çikmasindan) hemen sonra, Ingiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile baslar.

Daha sonralari, matematik tarihinde büyük isim yapmis olan, Isviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeslerin, 18. yüzyilda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D'Alembert. Charbit, Monge, Laplace ile 19. yüzyilda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard , Fusch ve F.G. Frobenius, diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir.

Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli sartlar altinda bir çözümlerinin mevcut olmasinin ispati, diferansiyel denklemler teorisinde varlik teoremi konusunu teskil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yillari arasinda, Fransiz matematikçi A.L. Cauchy tarafindan tesis edilmis ve daha sonra gelenler tarafindan gelistirilmistir.

Newton ve Diferansiyel Denklem
Ingiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler üzerindeki çalismalarina 1665 yilinda baslamistir. 1671 yilinda yayinladigi bir makale ile, diferansiyel denklemleri 3 ayri sinifta göstermistir. Bunlar:

Birinci Sinif Diferansiyel Denklemler: Bu sinifa ayirdiklari, dy/dx tipinde olanlardir. Burada y, x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.

Ikinci Sinif Diferansiyel Denklemler: Bu sinifa ayirdiklari, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardir.

Üçüncü Sinif Diferansiyel Denklemler: Bu siniftaki diferansiyel denklemler ise, kismi diferansiyel tipinde olanlardir.

Leibniz ve Diferansiyel Denklem
Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferansiyel denklemler üzerine çalismalarina 1673 yilinda baslamistir. Bu konudaki çalismalarini, 1684 ile 1686 yillari arasinda yazdigi Aklaerudilorum adinda bir eseri ile ortaya koymustur.

Leibniz'in bu eseri, yayinlandigi yillarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemistir. Fakat, Isviçre'de, Jaques ve Jean Bernouilli kardesler tarafindan, ilgiyle incelenmistir. 1690 yilinda, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayinlanmistir. Yine ayni yillarda; Leibniz ve Bernouilli kardesler tarafindan, diferansiyel üzerinde önemli arastirmalar yapmislardir. Yeni çözüm yollari gelistirmislerdir. Leibniz 1691 yilinda; f (x,y) = f (x.g (y)) seklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmistir.

Euler ve Diferansiyel Denklem
Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yilinda, diferansiyel denklemler üzerinde genis çalismalar yapmistir. Diferansiyel denklemlerin derecesini düsürme yöntemlerini gelistirmistir. Seri çözümleri:

(1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0

seklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmustur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamistir.

Euler'in Denklemi
ai ler sabit olmak üzere, denklemin genel sekli:

a0xnyn + a1xn-1yn-1 + ... + an-1 xy + an = q(x)

olan bu denklem, y'ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayilar degiskendir.