Tarih Öncesi Çaglarda Aritmetik
Sayi ve biçime iliskin kavramlarla tanismamiz Yontma Tas Devri’ne kadar uzanir .Yüzbinlerce yil boyunca insanlar , hayvanlarin yasadigi kosullardan pek farkli olmayan bir biçimde magaralarda yasadilar .Enerjilerinin çogunu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harciyorlardi .Avlanmak ve balik tutmak için silahlari , birbirleriyle anlasmak için konusma dilini gelistirdiler .Yontma Tas Devri’nin sonlarina dogru da yaratici sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak yasamlarini renklendirdiler .Fransa ve Ispanya’daki yaklasik 15.000 yil öncesinin magara duvar resimlerininayinsel bir anlami olabilir , ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlayisi gösteriyorlardi .
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelismisti ki , yüzlerce mil uzakliktaki köyler arasindaki iliskilerin izleri fark edilebiliyordu .Önce bakirin daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yapildi .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da gelismesine yol açti .Bu dillerdeki nesnelerin çogunlukla somut ; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayida olmasina karsin bazi sayisal terimler ortaya çikti .Benim düsüncelerime göre matematigin ilk kez ortaya çiktigi çag Maden Çagidir .
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith’in "insan aklinin ürünü en soyut düsünceler" olarak tanimladigi sayisal terimlerin kullanilmaya baslanmasi çok yavas oldu .Bunlar ilk ortaya çiktiklarinda bir cismin sayisini degil niteligini gösteriyordu .Örnegin ; "bir insan" degil sadece "insan" kavramini gösteriyordu .Sayisal kavramlarin bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazi dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Sayi kavrami gelistikçe toplama yoluyla daha büyük sayilar olusturuldu :2 ile 1 toplanarak 3 , 2 ile 2 toplanarak 4 , 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu .
Iste bazi Avustralya kabilelerinden örnek :
Murray Nehri : 1 =enea , 2 =petcheval , 3 =petcheval-enea , 4 =petcheval - petcheval
Kamilaraoi : 1 =ma , 2 =bulan , 3 =guliba , 4 =bulan bulan , 5 =bulan guliba , 6 =guliba guliba
Zanaatlerin ve ticaretin gelismesi sayi kavraminin netlesmesine yardim etti .Sayilar , ticaret yaparken dogal bir yöntem olan bir ya da iki elin parmaklari kullanilarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna örnek olarak simdiki okullarda okuyan küçük siniflarda ki çocuklarin sayma yöntemini verebilirim .Bu olayin sonucunda önce 5 sonra 10 tabanli sayi sistemleri olusturulup , bunlar toplama ve bazen çikarma ile tamamlandi .Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9 ,10-1 olarak algilandi .Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklarinin toplam sayisi olan 20 kullanildi .Yapilan arastirmalara göre Amerikan yerlilerinin kullandigi 307 sayi siteminden 146’si onluk , 106’si onluk , onikilik ve yirmilik sayi sistemlerinin karisimiydi .Çogu kisi tarafindan yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayi sisteminin olmasi önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra , onlarin da en az bizim kadar zeki olduklarini anladim .Yirmili sayi sisteminin en tipik biçmi Meksika’da Mayalar ve Avrupa’da Keltler tarafindan kullanildi .
Sayilar kümelere ayrilarak , tahtanin üstüne çentik , ipin üstüne dügüm atilarak ya da deniz kabuklarinin besli yiginlar biçiminde düzenlenmesiyle sayisal kayitlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hancilarinin çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5 , 10 , 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarligin dogusu da denen yazili tarihin baslangicindan beri kullanilmistir .
Yontama Tas Devri’ne kadar uzanan en eski çetele çubugu 1937’de Vestonica’da bulunmustur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunlugundaki ön kol kemigiydi ve üzerinde ilk 25’i besli gruplar halinde düzenlenmis 55 çentik bulunmaktaydi .Dizinin sonunda , önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vardi .Yeni dizinin basindaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten olusan bir dizi izliyordu .
Böylece , sik sik söylenen
"eski zamanlarda sayma parmaklara dayaliydi ." görüsü geçerliligini kaybetmis oldu .Yazi olmamasina ragmen Yontma Tas Devrin’deki insanlarin çetele çubuklarini duymak ilginç gelebilir .Fakat gerçek .
Parmaklar kullanilarak sayi saymak yani 5’erli 10’arli saymak ancak toplumsal gelisimin belirli bir asamasinda ortaya çikar .Bu asamadan sonra sayilar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayilarin ortaya çikmasina yardim etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çikti .14 bazen 10+4 , bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu .20’nin 10+10 degil de 2
´10 olarak gösterilmesiyle çarpma basladi .Bölme , 10’un "vücudun yarisi" olarak gösterilmesiyle basladi , ama kesirlerin bilinçli bir sekilde olusturulmasi hala çok enderdi .Kuzey Amerika’da kabilelerin ancak birkaçinda böyle kesirler biliniyordu , çogu durumda bu ½’ydi .Bazen 1/3
ya da ¼’de kullaniliyordu .Bir baska ilginç durum çok büyük sayilara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklügü ya da öldürülen düsmanlarin çoklugunu abartma isteginin sonucudur .Bu egilimin kalintilari Incil’de ve diger kutsal metinlerde de ortaya çikar .
Tarih Öncesi Çaglarda Geometri
Cisimlerin uzunluklarini ve içindekileri ölçmek gerekince , genelde insan vücudunun bölümleri kullanilarak ; parmak , ayak , karis gibi basit ölçüler kullanildi .Arsin , kulaç adlari bize bu gelenegi hatirlatir .Ev yaparken Hint köylüleri de , Orta Avrupa’da kutup evi yapanlar da yapilari düz çizgiler boyunca ve yere göre dik açiyla yapmak için kurallar gelistirdiler .Örnegin ; "Düz sözcügü "germek" sözcügü ile ilgilidir ve iple yapilan islemleri gösterir ."Dogru" ve "Keten kumas" sözcükleri , dokumacilik ile geometrinin baslangici arasindaki baglantiyi gösterir .Dokumacilik ölçmeye iliskin ilginin baslama yollarindan biriydi .
Cilali Tas Devri insani geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu .Çömleklerin pisirilmesi ve boyanmasi , sazlarin örülmesi , sepet yapimi ve kumas dokumaciligi , daha sonra da metallerin islenmesi , düzlemsel ve alansal iliskilerin kavranmasini gelistirdi .Dans figürleri de bunda rol oynamis olmali ki Cilalitas Devri’nde yapilan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür ; es sekiller kullanilirdi .Bazi tarih öncesi desenler de üçgensel sayilar , bazilarinda ise "kutsal" sayilar yer aliyordu .Pisagor matematiginde önemli rol oynayan üçgensel sayilarin olusturulma çabalari yansimaktadir .
Bu tür desenler tarih boyunca yaygin olarak kullanilmistir .Bunlarin çok güzel örneklerine Girit’teki Minos ve erken dönem Yunan vazolarinda , daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde , Pers ve Çin duvar halilarinda rastlanir .Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlami olabilir , ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana çikmistir .
Tas Devri dinlerinde , doga güçlerine egemen olma çabasinin ilkel bir biçimini fark edebiliriz . Dinsel törenler büyü ile iç içeydi .Büyü ögesi de o zamanlar var olan sayi ve biçime iliskin kavramlarda , heykel , müzik ve resimlerde içeriliyordu .3,4,7 gibi sihirli sayilar , Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vardi .Matematigin toplumsal kökenleri modern zamanlarda siliklesmisse de insanlik tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler açikça görülebilmektedir ve bazi yazarlar , matematigin bu yönünün onun gelisiminde belirleyici oldugu görüsündedir ."Modern" sayi bilimi , Cilali hatta belki de Yontma Tas Devri’nin büyü törenlerinin mirasidir .
Zaman Kavrami
En ilkel kabilelerde bile bir "zaman" kavramina rastlanir ve bunun sonucu olarak da Günes Ay ve yildizlarin hareketleriyle ilgili bazi bilgileri edinmislerdi .Bu bilgiler , çiftçilik ve ticaret gelistikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya basladi .Bitkilerdeki degisimlerin Ay’daki degisimlerle iliskilendirildigi Ay takviminin kullanilmasi , insanlik tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzanir .Ilkel insanlar gündönümünü ya da safakta yedi yildizli Süreyya burcunun yükselisini ilgiyle izliyordu .Ilk uygarliklari kuran insanlarin astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayaniyordu .Ilk insanlar , takim yildizlarindan denizcilikte yararlandilar .Astronomiye iliskin bu gözlemlerinin sonunda kürenin , dairenin ve açisal yönlerin özellikleri hakkinda bilgi edinildi .
Matematigin baslangicina iliskin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel gelisiminin , simdi bu alandaki ögretimde gelistirdigimiz asamalarla çakismayabilecegini göstermektedir .Insanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan dügümlere ve desenlere ancak son yillarda bilimsel bir ilgi gösterilmistir .Öte yandan , grafikle gösterim ya da istatistik gibi matematigin temel dallarinin baslangici modern zamanlardadir .Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda söyle düsünmektedir :
"Matematige girisin dogasinda var olan sikiciligin ön plana çikma egiliminin geç baslangicinin sonucu oldugu söylenebilir ; çünkü yaratici bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle ugrasmayi yegler ."
