birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem anlatimi

Içinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazi degerleri için dogru olan esitsizliklere denklem denir.

Denklemi saglayan bilinmeyenin degerine o denklemin kökü ya da kökleri denir. Denklemin kökünü veya köklerini bulmak için yapilan isleme denklemi çözme; kök veya köklerin olusturdugu kümeye ise çözüm kümesi denir.
Denklem; içindeki bilinmeyen sayisi ve bilinmeyenin üssüne göre adlandirilir.

O HALDE;
5x – 5 = 15, y + 2 = 6 açik önermeleri bir bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
2x + y = 9 açik önermesi iki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x + y + z = 4 açik önermesi üç bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x² - 9 = 16 açik önermesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

Içinde bir tane bilinmeyeni bulunan ve üssü bir olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

Genel olarak; a,b,c Є R ve a �* 0 olmak üzere ax + b = c seklinde gösterilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

DENKLEM ÇÖZÜMÜNDE BILINMESI GEREKEN ÖZELLIKLER

1. Bir esitligin her iki yanina ayni reel sayi
eklenirse, esitlik bozulmaz. Bu özelige; esitligin toplama kurali denir.

2. Bir esitligin her iki yani da sifirdan farkli
ayni reel sayiyla çarpilirsa, esitlik bozulmaz. Bu özelige; esitligin çarpma kurali denir.

3. Bir esitligin her iki yani da sifirdan farkli
ayni reel sayiya bölünürse, esitlik bozulmaz. Bu özelige; esitligin bölme kurali denir.

4. Bir denklemde herhangi bir terimi esitligin
bir tarafindan diger tarafina geçirerek islem yapmak gerekiyorsa; geçirilen terimin isareti degistirilir.

Pratik Çözüm

Bir denklemi pratik çözmek için ;

Bilinmeyenler esitligin bir yaninda, bilinenler esitligin diger yaninda toplanir. Esitligin bir yanindan diger yanina geçen terimin isareti degisir.

Her iki yanda toplama çikarma islemleri yapilir ve her iki yan bilinmeyenin katsayisina bölünerek bilinmeyen yalniz birakilir. Denklem çözülmüs olur.

ÖRNEKLER

1. x + 6 = 10 denkleminin çözüm kümesini
bulalim:

Çözüm:
x + 6 = 10 denkleminde (+6) nin toplama
islemine göre ters elemani olan (-6), esitligin her iki yanina eklenirse esitlik bozulmaz.

Buna göre; x + 6 = 10
x + 6 + (-6) = 10 + (-6)
x + 0 = 4
x = 4 olur.
Ç = {4} olur.

Verilen bir denklemin çözümünün dogru yapilip yapilmadiginin arastirilmasina, denklemin saglamasi denir.

Bulunan kök, denklemde yerine yazilarak denklemin saglamasi yapilir böylece bulunan kökün dogrulugu kontrol edilir.

4 sayisinin x + 6 = 10 denklemini saglayip saglamadigini kontrol edelim:

x = 4 için x + 6 = 10
4 + 6 =10
10 = 10 oldugundan
çözüm dogrudur.
x + 6 = 10
x = 10 – 6
x = 4 ve Ç = {4} tür.

Demek ki; her iki sekilde yapilan çözüm, ayni elemani veren çözüm kümesidir.

2. Verilen denklem parantezli olursa; asagida yapildigi gibi, önce dagilma özeligi uygulanarak parantezler kaldirilir. Sonra da içerisinde bilinmeyeni olan terimler esitligin bir tarafina, öteki terimler de diger tarafina geçirilir. Gerekli islemler yapilarak denklem çözülür.


2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 )

Önce, çarpma isleminin toplama ve çikarma islemleri üzerine dagilma özeliklerini uygulayalim


Çözüm:

2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 )
2x + 6 + 7 = 25 – 2x + 4
2x + 13 = -2x + 29
2x + 2x = 29 – 13
4x = 16
x = 16 : 4
x = 4 ve Ç = { 4 } olur.

3. Verilen denklem kesirli olursa, çözümü için önce paydalar esitlenir. Denklem paydadan kurtarilir. Bunun için, esitligin iki yanini ortak payda ile çarpmak gerekir. Sonra da örnek çözümlerde belirtilen kurallara göre denklem çözülür.

3.(x–2) _ 2–x _ _ x _ 5 denkleminin çözüm
4 2 ¯ 5 2 kümesini bulalim:

Çözüm:
Paydalari esitlersek:

3.( x- 2) – 2.( 2 – x ) – 4x _ x - 10
4 ¯ 4


3x – 6 – 4 + 2x – 4x =x – 10
3x + 2x – 4x – x = -10 + 6 + 4
5x - 5x = -10 + 10
0.x = 0

Bu esitlik bütün reel sayilar için geçerli oldugundan verilen denklemin çözüm kümesi Ç=R dir.

4. 5 sayisinin, 2x – 6 = 3 denkleminin kökü olup olmadigini arastiralim:

Çözüm:
x = 5 için 2x – 6 = 3
2 . 5 – 6 = 3
10 – 6 = 3
4 �* 3 olur

Buna göre 5 sayisi 2x – 6 = 3 denkleminin çözüm kümesi degildir. Verilen bir sayinin, verilen bir denklemin kökü olup olmadigini anlamak için verilen denklemdeki bilinmeyen sayi yerine yazilir. Islemler yapilir.eger esitlik saglaniyorsa bu sayi denklemin çözüm kümesi, saglanamiyorsa çözüm kümesi degildir denir.

5. –5 + 6 _ 7 denklemini çözelim
3 ¯ 1

Çözüm:

–5 + 6 _ 7 (Önce paydalari esitleyelim.)
3 ¯ 1
( 3 )

-5 + 6 _ 21 ( Çarpma kurali )
³˙ 3 ¯ 3 ˙³

-5x + 6 = 21 (Toplama kurali )
-5x + 6 + (-6) = 21 + (-6)
-5x = 15

-5x _ 15 (Bölme kurali )
5 ¯ 5

x = -3 tür. Ç = {-3}

6. 2.(5x - 6) + 2 = 30 denkleminin çözüm kümesini R de bulalim

Çözüm:
Çarpma isleminin çikarma islemi üzerine dagilma özeligini uygulayarak parantezi açalim.

2.(5x - 6) + 2 = 30 ise
(2 . 5x) – (2 . 6) + 2 = 30
10x – 12 + 2 = 30
10x – 10 = 30 olur.

Simdi ( -10) un toplama islemine göre ters elemani olan (+10) u esitligin her iki tarafina ekleyelim.

10x – 10= 30 ise
10x – 10 + (+10) = 30 + (+10)
10x + 0 = 40
10x = 40 10x _ 40
10 ¯ 10
x = 4 ve Ç= {4} olur.


7. 2x – 5 = 7 denklemini R de çözelim:

Çözüm:
Esitligin her iki tarafina, (-5) sayisinin toplama islemine göre tersi olan (+5) sayisini ekleyelim.

2x – 5 + 5 = 7 + 5

0

2x . 0 = +12
+2. x = 12 esitliginin her iki tarafini (+2) nin çarpma islemine göre tersi olan 1 ile çarpalim:
2

1 6
2 . . 1 _ 12 . 1
2 ¯ 2
1 1

x = 6 bulunur.
Ç = 6 seklinde çözüm kümesi yazilir.

8. 5x + 2 = 27 denklemini R de çözelim.

Çözüm:
Esitligin her iki yanina (+2) nin toplama islemine göre tersi olan (-2) sayisini ekleyelim.



5x + 2 + (-2) = 27 + (-2)
0 25

5 . x = 25

Esitligin her iki yanini (+5) sayisinin çarpma islemine
göre tersi olan 1 sayisi ile çarpalim.
2

1 5
5 . x . 1 _ 25 . 1
2 ¯ 2
1 1

x = 5 bulunur.
Çözüm kümesi Ç = {5} olur.

Bu son örnegi kisa yolla, asagidaki gibi yapariz:


5x + 2 = 27

toplanan

5x = 27 – 2

çikan

( Esitligin bir tarafindaki toplanan terim, esitligin diger tarafina çikan olarak geçer. )

5 . x = 27

çarpan

x = 25 : 5

bölen

( Esitligin bir tarafindaki çarpan terim, esitligin diger tarafina bölen olarak geçer.)

x = 5 bulunur.
Ç = {5} olur.

alintidir.