Üslü denklemler

TANIM: : a bir reel gerçel sayi ve nÎZ+ olsun. a.a.a...a=an olacak sekilde, n tane a’nin çarpimi olan an e üslü ifadeler denir.
Örnek/ a) 3.3.3.3=34 b) c)
UYARI :8 a bir reel sayi ve nÎZ+ olmak üzere a+a+a+...+a = n.a oldugu için an ile n.a ifadeleri birbirine karistirilmamalidir. Yani an ¹ n.a dir.

Örnek / 2+2+2+2+2 = 5.2 olup ayni sekilde 2.2.2.2.2 = 25 olduguna dikkat edilmelidir.

Not : 1-) a¹0 olmak sartiyla a0 = 1 dir.
2-) 00 = ifadesi tanimsizdir.
3-) 1n = 1 dir (nÎIR)

Örnek/ a) 80 =1 b) c) ( bu gibi örneklerde parantez içinin bilinmesi gerekir.) d) 115 =1 e) 1-15 = 1 f)


---------------Üssün Üssü--------------------
Tanim8 Bir üslü ifadenin üssü üslerin çarpimina esittir. Kural

Örnek/ a) ( 52)3 = 52.3 =56 b) c)

Not / 1- seklindeki bir yazilim ifadesi yanlistir. Çünkü n sayisinin; m nin üssümü yoksa am nin üssümü oldugu belli degildir.
2- dir. Üslerin parantezlerle neyin üssü oldugu belirtilmelidir.
Örnek / oldugunu gösterin.

a) = 32.3 =36 = 729
b) = 32.2.2 = 38 =6561


Sonuç : a ve b degerlerinden yukarida verilen esitsizligin dorulugu görülmüstür.


-------------------------Negatif Üs Kavrami-----------------
Tanim 8 a bir reel sayi olmak üzere dir. Benzer sekilde a¹0 ve b¹0 olmak üzere
Örnek / 5-1 + 5-2 = ?=
Örnek /

------------------------Bir Reel Sayinin Üssü-------------------


Tanm8 Pozitif sayilarin bütün kuvvetleri pozitiftir. Kural a > 0 Þ an > 0 dir.
Örnek / a) 42 = 16 > 0 b) 4-2 = c) 40 = 1 > 0
Tanim : 1- Negatif sayilarin Çift Kuvvetleri Pozitiftir. Kural a < 0 ve n bir çift sayi ise an > 0

Tanim : 2- Negatif sayilarin Tek Kuvvetleri Negatiftir.Kural a < 0 ve n bir tek sayi ise an < 0
Örnek / 1- (-4)2 = 16 > 0
Örnek / 2- (-4)3 = -64 < 0

Not 8 a > 0 ve n bir çift sayi ise (-a)n ¹ -an esitsizligi dogrudur.

Örnek / 1- (-2)4 ¹ -24 Çünkü (-2)4 = (+16) ve –24 = -2.2.2.2= -16
Örnek / 2- (-5)3 + (-53) = (- 125) + (-125) = (-250)
Örnek / 3- (-5)4 + (-54) = (+625) + (-625) = 0
Örnek / 4- (-3)3 + (-52) + (-4)2 = (-27) + (-25) + (+16) = (-36)

---------------------Üslü Ifadelerde Dört Islem-------------------

1- Toplama ve Çikarma Islemi

Tanim : Üslü ifadelerde toplama ve çikarma isleminin yapilabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarinin ayni olmasi gerekir

Kural :4 a.Xn b.Xn = (a b).Xn

Örnek / 1- 5.103 + 2.103 = (5+2).103
Örnek / 1- 5.103 - 2.103 = (5-2).103

Not8 m ¹ n ise am an islemi bu haliyle yapilamaz.
Örnek / 105 + 104 = isleminde 5 4 olup düzenleme yaparak islem tamamlanir.
1.105 = 10.104
Burdan 10.104 + 1.104 = (10+1). 104
Örnek / 55 + 54 = 5.54 + 54 = (5+1). 54


2- Çarpma ve Bölme Islemi

Tanim: Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme Isleminin yapilabilmesi için benzer terimlerin tabanlarinin ayini olmasi gerekir.

Kural 8/ 1- (a.Xm) .(b.Xn) = (a.b).Xm+n
Kural 8 2- (a.Xm) ¸ (b.Xn) = (a¸b).Xm-n veya
Örnek / (2.52 ) . (3.54) = 2.3.52+4 =6.56
Örnek / (8.36) ¸ (4.32) =
Örnek /
Örnek / 15a = 3a-2 olduguna göre 5a nin degerini bulalim.
15a = 3a-2 = (3.5)a = seklinde yazilirsa
15a = 3a-2 = (3.5)a =
= 3a.5a =
= 32 . 3a.5 a = 3a
= 9.5a =
= 9.5a = 1
= 5a=


------------------Üslü Denklemler--------------------
1- Tabanlari Esit Olan Denklemler:

KURAL:8 Tabanlari esit olan üslü denklemlerin üsleri de esittir.
a ¹ 0, a ¹ -1, a ¹ 1 olmak üzere am = an Þ m=n dir
ÖRNEK/ 1- 2x = 25 Þ x=5 tir.
2- 3x = 81 Þ 3x= 34 Þ x=4 tür.

3- 2x+8 = 8 olduguna göre, x=?
2x+8 = 2x . 28 olup
2x . 28 = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 23 olup
2x . 28 = 23
2x = 23¸ 28
2x = 23-8
2x = 2-5 olup burdan x = -5 bulunur.

ÖRNEK / esitligini saglayan x degerini bulalim.

ÇÖZÜM / 5x+1-(2-x) = (53)x-3
5x+1-2+x= 53(x-3)
52x-1= 53x-9 (Tabanlar esit olup üsler esit olmalidir.)
2x-1 = 3x-9
2x –3x = -9+1
-x = -8
x = 8


2- Üsleri esit olan denklemler:

KURAL 8 Üsleri esit olan denklemlerde üs tek sayi ise tabanlari esit, üs çift sayi ise tabanlar esit yada biri digerinin ters isaretlisine esittir.
n tek sayi ve an = bn Þ a=b dir.
n çift siyi ve an = bn Þ a=b veya a = -b dir.
ÖRNEK/ 1- x3=53Þ x=5 tir.
2- (x+7)3=(3x-11)3 esitligini saglayan x degerini bulalim.

Çözüm: 3=3 yani üsler esit oldugundan tabanlarda esit olmak zorundadir. Burdan,
(x+7) = (3x-11) olup parantezleri açalim
x+7 = 3x-11
7+11= 3x-x
18 = 2x
x =
x = 9

ÖRNEK / (2X+3)4= (X-2)4 esitligini saglayan x degerlerini bulalim.

ÇÖZÜM / 4çift sayi oldugu için
(2x+3)4= (X-2)4 Þ
2x+3= x-2 Veya 2x+3= -(x-2)
2x-x= -2-3 Veya 2x+3= -x+2
x=5 Veya 2x+x= 2-3
3x = -1
x=