Tek ve çift fonksiyonlar :

Tek ve çift fonksiyonlar :
Tanimli olan tüm x degerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;
f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.
Diger bir deyisle
baslangiç noktasina (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;
y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.

Örnek 36: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3
= -sinx -3x +x3
= -(sinx +3x -x3)
= -f(x) oldugundan tek fonksiyondur.

Örnek 37: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)
= x2 + 4 -cosx
= f(x) oldugundan çift fonksiyondur.

Örnek 38: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
= x2 - x3 -3 oldugundan ne tek ne de çift fonksiyondur.

Örnek 39: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0
oldugundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.
Diger bir deyisle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni
hem baslangiç noktasi hem de y eksenine göre simetriktir.

Örnek 40: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduguna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm : Çift fonksiyon oldugundan f(x) = f(-x) olur.
Dolayisiyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacagindan f(x) = x+2 olur.
Periyodik fonksiyonlar :
Eger bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak sekilde bir t gerçek sayisi bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.
Buradaki t sayisina da o fonksiyonun periyodu denir.
Diger bir deyisle periyodu t olan bir fonksiyonda
f(x+t) = f(x) ==> ( x+t ) - x = t olur.

Örnek 41: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanimli iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalidir.
Dolayisi ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve
( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalidir
( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 )
buradan t = 5/2 bulunur.
f (x) fonksiyonunun periyodu t ise
f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur.
Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduguna göre
g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik.
f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotlari t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarinin periyotlari OKEK(t1 , t2 ) olur. Çarpim veya bölümlerinin periyotlari ise bu fonksiyonlari toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.

Örnek 42 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,
g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise
h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 oldugundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.
Trigonometrik fonksiyonlardan
sin x ve cos x fonksiyonlarinin periyotlari 2 ;
tanx ve cotx fonksiyonlarinin periyotlari ise  ‘dir.

Örnek 43 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu ve
sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu oldugundan
f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan  ‘ dir.

Örnek 44 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : Ters dönüsüm formullerinden yararlanarak buluruz.
Dolayisiyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacagindan ;
sin 8x fonksiyonunun periyodu ve
sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur.
f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK ( olur.

Örnek 45 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x oldugundan
olur.
Bu nedenle olur.
f(x) fonksiyonu da
olacagindan periyodu da bulunur.
Sinkax ve coskax fonksiyonlarinin periyotlari k sayisi çift ise ,
k sayisi tek ise ;
tankax ve cotkax fonksiyonlarinin periyotlari
k sayisi ne olursa olsun ‘dir.
Buna göre ayni soru k =2 oldugundan bu bilgileri kullanarak ’ dir de diyebiliriz .

Fonksiyonlarin toplami,farki, çarpimi,bölümü :
f (x) ve g (x) fonksiyonlari için
h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;
h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;
h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpim fonksiyonu ;
h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan
birincisi h (x) fonksiyonunun tanim kümesi
f ve g fonksiyonlarinin tanim kümelerinin kesisim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanimlanan islemler fonksiyonlarin görüntü kümeleri üzerinde yapilacaktir.

Örnek 46 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanim kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanim kümesi B = {-1,2,3,4} olduguna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanim ve deger kümelerini bulunuz.
Çözüm : Tanim kümesi = A  B = {-1,2,3} olur.
h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 oldugundan
h (-1) = -3
h ( 2) = 12
h (3) = 17 olur ve deger kümesi de G = {-3,12,17} seklinde bulunur.

Örnek 47 : f : A  B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve
g : C  D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduguna göre
h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun deger kümesini bulunuz .
Çözüm : Fonksiyonlar incelendiginde esit fonksiyon olduklari görülmektedir. Dolayisi ile h (x) = 5f (x) diye düsünülebilir.
h (1) = 5f (1) = 10 ;
h (2) = 5f (2) = 15
h (3) = 5f (3) = 20 oldugundan deger kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.